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构造二次函数解题

作者:admin 发表于:2016-09-10   点击: 评论: 0

  生活中有不少问题可以通过构造二次函数来解决. 请看2009年的两道中考题.

  例1 某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛,花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图1所示的图案,AE=MN. 准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草,在形如Rt△EMH的四个全等三角形内种植黄色花草,在正方形MNPQ内种植紫色花草. 每种花草的价格如下表:

  设AE为x米,正方形EFGH的面积为S平方米,买花草所需的费用为W元,解答下列问题:

  (1)S与x之间的函数关系式为S=?摇?摇 ?摇?摇;

  (2)求W与x之间的函数关系式,并求买花草需要的最低费用是多少元;

  (3)当买花草所需的费用最低时,求EM的长.

  解:(1)依题意可得,S=EH2=AE2+AH2=x2+(4-x)2,

  即S=2×2-8x+16.

  (2)W=60×4S■+80×(S正方形EFGH-S正方形MNPQ)+120×S正方形MNPQ

  =60×4×■x(4-x)+80×[x2+(4-x)2-x2]+120×2

  =80×2-160x+1 280=80(x-1)2+1 200,

  当x=1时,W最小值=1 200元.

  (3)设EM=a米,则MH=(a+1)米.

  在Rt△EMH中,由勾股定理,得a2+(a+1)2=12+32.

  解得a=■,而a>0,所以a=■.

  评点:对于以几何图形为背景的应用题,需要依据题意,灵活运用几何知识,构造出函数模型,进而使问题获解.

  例2 如图2,直线y=-■x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点,直线y=■x与AB交于点C,与过点A且平行于y轴的直线交于点D. 点E从点A出发,以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动. 过点E作x轴的垂线,分别交直线AB、OD于P、Q两点,以PQ为边向右作正方形PQMN. 设正方形PQMN与△ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位),点E的运动时间为t(秒).

  (1)求点C的坐标;

  (2)当0
  (3)求(2)中S的最大值;

  (4)当t>0时,直接写出点(4,■)在正方形PQMN内部时t的取值范围.

  解:(1)由题意,得y=-■x+6,y=■x.?摇解得x=3,y=■?郾 所以C(3,■)?郾

  (2)根据题意,得AE=t,OE=OA-EA=8-t.

  所以点Q的纵坐标为■(8-t),点P的纵坐标为■t.

  所以PQ=■(8-t)-■t=10-2t.

  当MN在AD上时,10-2t=t,解得t=■.

  当0
  当■≤t<5时,S=(10-2t)2,即S=4t2-40t+100.

  (3)当0
  所以当t=■时,S最大值=■.

  当■≤t<5时,S=4(t-5)2,因为t<5,S随t的增大而减小,所以当t=■时,S最大值=■.

  而■>■,所以S的最大值为■.

  (4)结合图形可知,4
  评点:本题意在考查平面内点的坐标的意义、二元一次方程组的应用、不等式(组)的简单应用以及二次函数的最值问题,这是一道动态的二次函数综合题.■

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